Representations of $\mathrm{PGL}\left(2\right)$ of a local field and harmonic cochains on graph

Broussous, Paul¹ 

¹Université de Poitiers, UMR6086 CNRS, SP2MI – Téléport, Bd M. et P. Curie BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 18 (2009) no. 3, pp. 541-559

Abstract (VO)

We give combinatorial models for non-spherical, generic, smooth, complex representations of the group $G=\mathrm{PGL}(2,F)$, where $F$ is a non-Archimedean locally compact field. More precisely we carry on studying the graphs ${\left({\tilde{X}}_k\right)}_{k\ge 0}$ defined in a previous work. We show that such representations may be obtained as quotients of the cohomology of a graph ${\tilde{X}}_k$, for a suitable integer $k$, or equivalently as subspaces of the space of discrete harmonic cochains on such a graph. Moreover, for supercuspidal representations, these models are unique.

Résumé

Nous donnons des modèles combinatoires des représentations lisses, complexes, génériques, non-sphériques du groupe $G=\mathrm{PGL}(2,F)$, où $F$ est un corps localement compact non-archimédien. Plus précisément nous reprenons l’étude des graphes ${\left({\tilde{X}}_k\right)}_{k\ge 0}$ inaugurée dans un précédent travail. Nous montrons que de telles représentations se réalisent comme quotients de la cohomologie d’un graphe ${\tilde{X}}_k$ pour un $k$ bien choisi, ou, de façon équivalente, dans un espace de formes harmoniques discrètes sur un tel graphe. Pour les représentations supercuspidales, ces modèles sont de plus uniques.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1213