Modélisation fluide des plasmas dans les Tokamaks

Blum, Jacques¹

¹ Laboratoire J.A. Dieudonné, Université de Nice Sophia Antipolis, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 02, France et Inria, Centre de recherche Sophia Antipolis Méditerranée, Équipe Projet CASTOR

Journées mathématiques X-UPS, Des problèmes à $N$ corps aux Tokamaks (2015), pp. 57-85.

Résumé

Ce texte présente dans un premier temps les deux approches pour la modélisation d’un plasma (gaz ionisé) en présence d’un champ magnétique : l’approche microscopique basée sur les équations cinétiques (Vlasov, Boltzmann,...) et l’approche macroscopique basée sur les équations de la magnétohydrodynamique (MHD) et comment l’on passe de l’une à l’autre. Pour une machine du type Tokamak qui vise à réaliser la fusion de noyaux d’atomes légers par le principe du confinement magnétique, on montrera qu’il existe des échelles de temps allant de la microseconde (temps d’Alfven) à la seconde (temps de diffusion résistive) et que le modèle peut être simplifié en se plaçant à l’échelle de temps du phénomène qu’on se propose d’étudier. On établira ainsi le principe de l’évolution quasi-statique de l’équilibre du plasma dans un Tokamak et on montrera comment, avec des méthodes numériques appropriées, on peut reconstruire en temps réel l’équilibre du plasma à chaque instant de la décharge (lignes de flux, surfaces magnétiques, densité de courant, frontière libre du plasma,...). Ce problème rentre dans la catégorie des problèmes inverses, qui sont mal-posés au sens d’Hadamard et on montrera comment, à l’aide de techniques mathématiques de régularisation, on peut les rendre bien-posés. On pourra alors aborder le problème du contrôle de l’équilibre du plasma en temps réel, tel qu’il se pose dans chaque Tokamak, en utilisant des bases hilbertiennes associées à l’opérateur aux dérivées partielles qui régit le phénomène. Ce dispositif sera utilisé dans le Tokamak WEST en cours de montage au CEA à Cadarache, qui vise à tester le divertor en tungstène qui sera réalisé pour ITER.

Détail

Publié le : 2024-08-06

DOI : 10.5802/xups.2015-03

Bibliographie

[A + 10] Artaud, J. F. et al. The CRONOS suite of codes for integrated tokamak modelling, Nuclear Fusion, Volume 50 (2010) no. 4, 043001 | DOI

[BB97] Blum, J.; Buvat, H. An inverse problem in plasma physics : The identification of the current density profile in a tokamak, Large scale optimization with applications, Part 1 : Optimization in inverse problems and design (IMA Volumes in Math. and its Applications), Volume 92, Springer, New York, 1997, pp. 17-36 | Zbl | DOI

[BBF08] Blum, J.; Boulbe, C.; Faugeras, B. Real-time equilibrium reconstruction in a Tokamak, CP988, Burning plasma diagnostics, American Institute of Physics, 2008, pp. 420-429

[BBF12] Blum, J.; Boulbe, C.; Faugeras, B. Reconstruction of the equilibrium of the plasma in a Tokamak and identification of the current density profile in real time, J. Comput. Phys., Volume 231 (2012), pp. 960-980 | DOI

[BK78] Byrne, R. N.; Klein, H. H. $\mathrm{G}2\mathrm{M}$, a two-dimensional diffusion time scale tokamak code, J. Comput. Phys., Volume 26 (1978) no. 3, pp. 352-378 | DOI | Zbl | MR

[BLF84] Blum, J.; Le Foll, J. Plasma equilibrium evolution at the resistive diffusion timescale, Computer Physics Reports, Volume 1 (1984) no. 7-8, pp. 465-494 | DOI

[BLFT81] Blum, J.; Le Foll, J.; Thooris, B. The self-consistent equilibrium and diffusion code SCED, Comput. Phys. Commun., Volume 24 (1981), pp. 235-254 | DOI

[BLO + 90] Blum, J.; Lazzaro, E.; O’Rourke, J.; Keegan, B.; Stefan, Y. Problems and methods of self-consistent reconstruction of tokamak equilibrium profiles from magnetic and polarimetric measurements, Nuclear Fusion, Volume 30 (1990) no. 8, p. 1475 | DOI

[Blu89] Blum, J. Numerical simulation and optimal control in plasma physics, Wiley/Gauthier-Villars Series in Modern Applied Math., John Wiley & Sons, Ltd., Chichester ; Gauthier-Villars, Montrouge, 1989 | MR

[Bos01] Bosak, K. Real-time numerical identification of plasma in tokamak fusion reactor, Master’s thesis, University of Wroclaw (2001)

[Bra65] Braginskii, S. I. Transport processes in plasma, Review of plasma physics (Leontovich, M. A., ed.), Volume 1, Consultants Bureau, New York, NY, 1965, pp. 205-311

[Cia78] Ciarlet, Ph. G. The finite element method for elliptic problems, Studies in Math. and its Applications, 4, North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1978 | MR

[HB + 15] Heumann, H.; Blum, J. et al. Quasi-static free-boundary equilibrium of toroidal plasma with CEDRES++ : Computational methods and applications, J. Plasma Phys., Volume 81 (2015) no. 03, 905810301 | DOI

[HH76] Hinton, F. L.; Hazeltine, R. D. Theory of plasma transport in toroidal confinement systems, Rev. Modern Phys., Volume 48 (1976) no. 2, part 1, pp. 239-308 | DOI | MR

[HJ79] Hirshman, S. P.; Jardin, S. C. Two-dimensional transport of tokamak plasmas, Phys. Fluids, Volume 22 (1979) no. 4, pp. 731-742 | Zbl | DOI | MR

[HMR77] Helton, F. J.; Miller, R. L.; Rawls, J. M. Two-dimensional multi-fluid tokamak transport code, J. Comput. Phys., Volume 24 (1977) no. 2, pp. 117-132 | DOI

[Hog79] Hogan, J. T. The accessibility of high-beta tokamak states, Nuclear Fusion, Volume 19 (1979) no. 6, p. 753 | DOI

[HPL80] Holmes, J. A.; Peng, Y.-K. M.; Lynch, S. J. Evolution of flux-conserving tokamak equilibria with preprogrammed cross sections, J. Comput. Phys., Volume 36 (1980) no. 1, pp. 35-54 | Zbl | DOI

[Jar81] Jardin, S. C. Self-consistent solutions of the plasma transport equations in an axisymmetric toroidal system, J. Comput. Phys., Volume 43 (1981) no. 1, pp. 31-60 | Zbl | DOI

[Mil80] Miller, R. L. Shape control of doublets, Nuclear Fusion, Volume 20 (1980) no. 2, p. 133 | DOI

[MPS72] Maschke, E. K.; Pantuso Sudano, J. Étude analytique de l’évolution d’un plasma toroïdal de type Tokamak à section non circulaire (1972) (Report EUR-CEA-FC-668)

[NG78] Nelson, D. B.; Grad, H. Heating and transport in Tokamaks of arbitrary shape and beta (1978) (Oak Ridge Report ORNL/TM-6094)

[PSZ78] Pereversev, G. V.; Shafranov, V. D.; Zakharov, L. E. On the evolution of tokamak plasma equilibria, Theoretical and computational plasma physics, IAEA, Vienna, 1978, pp. 469-481

[SBAM82] Shumaker, D. E.; Boyd, J. K.; Auerbach, S. P.; McNamara, B. Numerical simulation of transport in a field-reversed mirror plasma, J. Comput. Phys., Volume 45 (1982) no. 2, pp. 266-290 | Zbl | DOI

[TA77] Tikhonov, A. N.; Arsenin, V. Y. Solutions of Ill-posed problems, Winston, Washington D.C., 1977

[TS83] Turnbull, A. D.; Storer, R. G. A plasma resistive diffusion model, J. Comput. Phys., Volume 50 (1983) no. 3, pp. 409-435 | Zbl | DOI | MR