Parametric first-order Edgeworth expansion for Markov additive functionals. Application to $M$-estimations

Ferré, D.

doi:10.1214/13-AIHP592

Geodesic

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Parametric first-order Edgeworth expansion for Markov additive functionals. Application to

M

-estimations

Ferré, D.

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 51 (2015) no. 2, pp. 781-808

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Abstract (VO)
Résumé

We give a spectral approach to prove a parametric first-order Edgeworth expansion for bivariate additive functionals of strongly ergodic Markov chains. In particular, given any $V$ -geometrically ergodic Markov chain ${(X_{n})}_{n \in ℕ}$ whose distribution depends on a parameter $θ$ , we prove that ${ξ_{p} (X_{n - 1}, X_{n}); p \in 𝒫, n \geq 1}$ satisfies a uniform (in $(θ, p)$ ) first-order Edgeworth expansion provided that ${ξ_{p} (\cdot, \cdot); p \in 𝒫}$ satisfies some non-lattice condition and an almost optimal moment domination condition. Furthermore, the sequence ${(X_{n})}_{n \in ℕ}$ need not be stationary. This result is applied to $M$ -estimators of Markov chains and in particular of $V$ -geometrically ergodic Markov chains. The $M$ -estimators of some autoregressive processes are studied.

Grâce à une approche spectrale, nous donnons des conditions assurant la validité du développement d’Edgeworth d’ordre 1 paramétrique, dans le cadre général des fonctionnelles bivariées et additives de chaînes de Markov fortement ergodiques. En particulier, soit ${(X_{n})}_{n \in ℕ}$ une chaîne de Markov $V$ -géométriquement ergodique dont la loi dépend d’un paramètre $θ$ . Nous montrons alors que ${ξ_{p} (X_{n - 1}, X_{n}); p \in 𝒫, n \geq 1}$ satisfait un développement d’Edgeworth d’ordre 1 uniforme (en $(θ, p)$ ) si ${ξ_{p} (\cdot, \cdot); p \in 𝒫}$ satisfait une condition de type non-lattice ainsi qu’une condition quasi-optimale de moment-domination. De plus, ce résultat est établi dans le cas où les données ${(X_{n})}_{n \in ℕ}$ ne sont pas nécessairement stationnaires. Ce résultat est appliqué en particulier aux $M$ -estimateurs associés à des chaînes de Markov $V$ -géométriquement ergodiques. Les $M$ -estimateurs de processus autorégressifs sont étudiés.

MR Zbl

DOI : 10.1214/13-AIHP592

Classification : 60F05, 60J05, 62F12, 62M05
Keywords: edgeworth expansion, $V$-geometrically ergodic Markov chain, non-arithmeticity condition, perturbation operator

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Ferré, D. Parametric first-order Edgeworth expansion for Markov additive functionals. Application to $M$-estimations. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 51 (2015) no. 2, pp. 781-808. doi: 10.1214/13-AIHP592

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