The speed of a biased walk on a Galton–Watson tree without leaves is monotonic with respect to progeny distributions for high values of bias

Mehrdad, Behzad ; Sen, Sanchayan ; Zhu, Lingjiong

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 51 (2015) no. 1, pp. 304-318

Abstract (VO)

Consider biased random walks on two Galton–Watson trees without leaves having progeny distributions $P_1$ and $P_2$ ($\mathrm{GW}\left(P_1\right)$ and $\mathrm{GW}\left(P_2\right)$) where $P_1$ and $P_2$ are supported on positive integers and $P_1$ dominates $P_2$ stochastically. We prove that the speed of the walk on $\mathrm{GW}\left(P_1\right)$ is bigger than the same on $\mathrm{GW}\left(P_2\right)$ when the bias is larger than a threshold depending on $P_1$ and $P_2$. This partially answers a question raised by Ben Arous, Fribergh and Sidoravicius (Comm. Pure Appl. Math. 67 (2014) 519–530).

Résumé

Nous considérons des marches aléatoires biaisées sur deux arbres de Galton–Watson sans feuilles $\mathrm{GW}\left(P_1\right)$ et $\mathrm{GW}\left(P_2\right)$ ayant des lois de reproduction respectivement $P_1$ et $P_2$, deux lois supportées par les entiers positifs telles que $P_1$ domine stochastiquement $P_2$. Nous prouvons que la vitesse de la marche sur $\mathrm{GW}\left(P_1\right)$ est supérieure ou égale á celle sur $\mathrm{GW}\left(P_2\right)$ si le biais est plus grand qu’un seuil dépendant de $P_1$ et $P_2$. Ceci répond partiellement á une question posée par Ben Arous, Fribergh et Sidoravicius (Comm. Pure Appl. Math. 67 (2014) 519–530).

Détail

DOI : 10.1214/13-AIHP573

Classification : 60K37, 60J80, 60G50
Keywords: random walk in random environment, Galton–Watson tree, speed, stochastic domination