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The cactus of a pointed graph is a discrete tree associated with this graph. Similarly, with every pointed geodesic metric space , one can associate an -tree called the continuous cactus of . We prove under general assumptions that the cactus of random planar maps distributed according to Boltzmann weights and conditioned to have a fixed large number of vertices converges in distribution to a limiting space called the Brownian cactus, in the Gromov-Hausdorff sense. Moreover, the Brownian cactus can be interpreted as the continuous cactus of the so-called Brownian map.
Le cactus d’un graphe pointé est un certain arbre discret associé à ce graphe. De façon similaire, à tout espace métrique géodésique pointé , on peut associer un -arbre appelé cactus continu de . Sous des hypothèses générales, nous montrons que le cactus de cartes planaires aléatoires - dont la loi est déterminée par des poids de Boltzmann, et qui sont conditionnées à avoir un grand nombre fixé de sommets - converge en loi vers un espace limite appelé cactus brownien, au sens de la topologie de Gromov-Hausdorff. De plus, le cactus brownien peut être interprété comme le cactus continu de la carte brownienne.
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TY - JOUR AU - Curien, Nicolas AU - Le Gall, Jean-François AU - Miermont, Grégory TI - The brownian cactus I. Scaling limits of discrete cactuses JO - Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques PY - 2013 SP - 340 EP - 373 VL - 49 IS - 2 PB - Gauthier-Villars UR - http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1214/11-AIHP460/ DO - 10.1214/11-AIHP460 LA - en ID - AIHPB_2013__49_2_340_0 ER -
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Curien, Nicolas; Le Gall, Jean-François; Miermont, Grégory. The brownian cactus I. Scaling limits of discrete cactuses. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 49 (2013) no. 2, pp. 340-373. doi: 10.1214/11-AIHP460
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