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We prove that Poisson measures are invariant under (random) intensity preserving transformations whose finite difference gradient satisfies a cyclic vanishing condition. The proof relies on moment identities of independent interest for adapted and anticipating Poisson stochastic integrals, and is inspired by the method of Üstünel and Zakai (Probab. Theory Related Fields 103 (1995) 409-429) on the Wiener space, although the corresponding algebra is more complex than in the Wiener case. The examples of application include transformations conditioned by random sets such as the convex hull of a Poisson random measure.
Nous montrons que les mesures de Poisson sont invariantes par les transformations aléatoires qui préservent les mesures d'intensité, et dont le gradient aux différences finies satisfait une condition d'annulation cyclique. La preuve de ce résultat repose sur des identités de moments d'intérêt indépendant pour les intégrales stochastiques de Poisson adaptées et anticipantes, et est inspirée par la méthode de Üstünel et Zakai (Probab. Theory Related Fields 103 (1995) 409-429) sur l'espace de Wiener, bien que l'algèbre correspondante soit plus compliquée que dans le cas Wiener. Les exemples d'application incluent des transformations conditionnées par des ensembles aléatoires tels que l'enveloppe convexe d'une mesure aléatoire de Poisson.
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TY - JOUR AU - Privault, Nicolas TI - Invariance of Poisson measures under random transformations JO - Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques PY - 2012 SP - 947 EP - 972 VL - 48 IS - 4 PB - Gauthier-Villars UR - http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1214/11-AIHP422/ DO - 10.1214/11-AIHP422 LA - en ID - AIHPB_2012__48_4_947_0 ER -
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Privault, Nicolas. Invariance of Poisson measures under random transformations. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 48 (2012) no. 4, pp. 947-972. doi: 10.1214/11-AIHP422
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