Laplaciens de graphes infinis I, graphes métriquement complets

Torki, Nabila¹

¹

Confluentes Mathematici, Tome 2 (2010) no. 3, pp. 333-350

Résumé

We introduce the weighted graph Laplacian Δ_ω,c and the notion of Schrödinger operator of the form Δ_1,a + W on a locally finite graph G. Concerning essential self-adjointness, we extend Wojciechowski's and Dodziuk's results for graphs with vertex constant weight. The main result in this work states that on any metrically complete weighted graph with bounded degree, the Laplacian Δ_ω,c is essentially self-adjoint and the same holds for Schrödinger operators provided the associated quadratic form is bounded from below. We construct for the proof a strictly positive and harmonic function which allows us to write any Schrödinger operator Δ_1,a + W as a Laplacian Δ_ω,c modulo a unitary transform.

On introduit le Laplacien Δ_ω,c d'un graphe G localement fini pondéré à la fois sur les sommets et sur les arêtes, ainsi que la notion d'opérateur de Schrödinger Δ_1,a + W. Pour les graphes à poids constants sur les sommets, on étend un résultat de Wojciechowski pour le Laplacien et un résultat de Dodziuk pour les opérateurs de Schrödinger concernant le caractère essentiellement auto-adjoint. Le résultat principal de ce travail établit que pour les graphes pondérés à valence bornée et métriquement complets, le Laplacien Δ_ω,c est essentiellement auto-adjoint, et il en va de même pour l'opérateur Δ_1,a + W pourvu que la forme quadratique associée soit minorée. La preuve fait appel à la construction d'une fonction harmonique strictement positive qui permet d'écrire l'opérateur de Schrödinger Δ_1,a + W comme un Laplacien à poids Δ_ω,c à transformation unitaire près.

Détail

Publié le : 2010-09-30

DOI : 10.1142/S179374421000020X