Symmetry and classification of solutions to an integral equation of the Choquard type

Le, Phuong

doi:10.1016/j.crma.2019.11.005

Partial differential equations

Symmetry and classification of solutions to an integral equation of the Choquard type
[Symétrie et classification des solutions d'une équation intégrale de type Choquard]

Présenté par : the Editorial Board

Le, Phuong ^{1
,} ²

¹ Division of Computational Mathematics and Engineering, Institute for Computational Science, Ton Duc Thang University, Ho Chi Minh City, Viet Nam
² Faculty of Mathematics and Statistics, Ton Duc Thang University, Ho Chi Minh City, Viet Nam

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 357 (2019) no. 11-12, pp. 878-888 Cet article a éte moissonné depuis la source Numdam

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Abstract (VO)
Résumé

We study the integral equation

u (x) = \int_{R^{n}} \frac{u^{p} (y)}{| x - y |^{n - α}} \int_{R^{n}} \frac{u^{q} (z)}{| y - z |^{n - β}} d z d y, x \in R^{n},

where

0 < α, β < n

and

p + q = \frac{n + α + 2 β}{n - α}

. We prove that all positive

L^{\frac{2 n}{n - α}} (R^{n})

solutions to the equation are radially symmetric and monotone decreasing about some point, and we classify all such solutions when

p + 1 = q = \frac{n + β}{n - α}

. As a consequence, we derive similar results for positive

H^{\frac{α}{2}} (R^{n})

solutions to the higher-fractional-order Choquard-type equation

{(- Δ)}^{\frac{α}{2}} u = \frac{1}{R_{n, α}} (\frac{1}{| x |^{n - β}} ⁎ u^{q}) u^{p} in R^{n} .

Nous étudions l'équation intégrale

u (x) = \int_{R^{n}} \frac{u^{p} (y)}{| x - y |^{n - α}} \int_{R^{n}} \frac{u^{q} (z)}{| y - z |^{n - β}} d z d y, x \in R^{n},

où

0 < α, β < n

et

p + q = \frac{n + α + 2 β}{n - α}

. Nous démontrons que toute solution positive

L^{\frac{2 n}{n - α}} (R^{n})

de l'équation est à symétrie radiale et monotone décroissante autour d'un point. Nous classifions toutes les solutions telles que

p + 1 = q = \frac{n + β}{n - α}

. Nous en déduisons des résultats similaires pour les solutions positives

H^{\frac{α}{2}} (R^{n})

de l'équation de type Choquard d'ordre fractionnaire supérieur

{(- Δ)}^{\frac{α}{2}} u = \frac{1}{R_{n, α}} (\frac{1}{| x |^{n - β}} ⁎ u^{q}) u^{p} in R^{n} .

Reçu le : 2018-10-30
Accepté le : 2019-11-05
Publié le : 2019-11-01

DOI : 10.1016/j.crma.2019.11.005

Affiliations des auteurs :

Le, Phuong ^{1
,

2}

¹ Division of Computational Mathematics and Engineering, Institute for Computational Science, Ton Duc Thang University, Ho Chi Minh City, Viet Nam
² Faculty of Mathematics and Statistics, Ton Duc Thang University, Ho Chi Minh City, Viet Nam

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Le, Phuong. Symmetry and classification of solutions to an integral equation of the Choquard type. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 357 (2019) no. 11-12, pp. 878-888. doi: 10.1016/j.crma.2019.11.005

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