Systèmes dynamiques

Forme normale pour NLS en dimension quelconque

Présenté par : Jean Bourgain

Bambusi, Dario¹ ; Grébert, Benoît²

¹ Dipartimento di Matematica, Università degli studi di Milano, Via Saldini 50, 20133 Milano, Italie
² Laboratoire de mathématiques Jean Leray, Université de Nantes, 2, rue de la Houssinière, 44072 Nantes cedex 03, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 6, pp. 409-414

Résumé (VO)

Nous considérons l'équation de Schrödinger non linéaire

$$-\mathrm{i}{u}_t=-\Delta \mathrm{u}+\mathrm{V}*\mathrm{u}+\mathrm{g}(\mathrm{u},\overline{u})$$

avec des conditions aux bords périodiques dans ${[-\pi ,\pi ]}^d,\mathrm{d}⩾1$. La fonction g est analytique dans les deux variables et d'ordre au moins 2 ; le potentiel V est dans L². Nous démontrons que, sous une hypothèse de non résonances générique pour V dans une certaine classe, il existe pour tout entier M une transformation canonique qui met l'Hamiltonien sous forme normale de Birkhoff à un reste d'ordre M près. La transformation canonique est bien définie dans un petit voisinage de l'origine de tout espace de Sobolev d'ordre assez grand. D'un point de vue dynamique, ceci signifie en particulier que si la donnée initiale est de norme plus petite que ε, la solution reste plus petite que 2ε pour des temps t de l'ordre de ε^−(M−1). De plus, pendant le même laps de temps, la solution reste proche d'un tore de dimension infinie.

Abstract

We consider the nonlinear Schödinger equation

$$-\mathrm{i}{u}_t=-\Delta \mathrm{u}+\mathrm{V}*\mathrm{u}+\mathrm{g}(\mathrm{u},\overline{u})$$

with periodic boundary conditions on ${[-\pi ,\pi ]}^d,\mathrm{d}⩾1;g$ is analytic and $\mathrm{g}(0,0)=\mathrm{Dg}(0,0)=0;V$ is a potential in L². Under a nonresonance condition which is fulfilled for most Vs we prove that, for any integer M there exists a canonical transformation that puts the Hamiltonian in Birkhoff normal form up to a reminder of order M. The canonical tranformation is well defined in a neighbourhood of the origin of any Sobolev space of sufficiently high order. From the dynamical point of view this means in particular that if the initial data is smaller than ε, the solution remains smaller than 2ε for all times t smaller than ε^−(M−1). Moreover, for the same times, the solution is close to an infinite dimensional torus.

Détail

Reçu le : 2003-03-11
Accepté le : 2003-06-24
Publié le : 2003-09-11

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00368-6