Statistique/Probabilités

Loi de type Chung en norme de Hölder pour les accroissements locaux du mouvement Brownien

Présenté par : Paul Deheuvels

Lucas, Alain¹ ; Thilly, Emmanuel¹

¹Laboratoire de mathématiques Nicolas Oresme, Université de Caen, IUT de Caen, 11, boulevard Jules Ferry, 14100 Lisieux, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 12, pp. 1029-1032

Résumé (VO)

Dans cette Note, nous établissons une loi limite presque sûre de type de Acosta (1985) pour une famille de normes Höldériennes. Plus précisément, nous obtenons, pour α∈(0,1/2), la vitesse de convergence, lorsque h↓0, de la quantité

$$T_{\alpha ,\mathrm{f}}\left(\mathrm{h}\right):=\underset{0⩽\mathrm{t}⩽1-\mathrm{h}}{\inf }{\parallel {\left(2\mathrm{h}\log (1/\mathrm{h})\right)}^{-1/2}(\mathrm{W}(\mathrm{t}+\mathrm{h}·)-\mathrm{W}\left(\mathrm{t}\right))-\mathrm{f}\parallel }_{\alpha }$$

lorsque $\mathrm{f}\in 𝒮$ vérifie ${\int }_0^1{\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\right\}}^2\mathrm{d}\mathrm{u}<1$, où $𝒮$ désigne l'ensemble de Strassen (1964).

Abstract

In this Note, we establish a de Acosta (1985) type strong law for a family of Hölder norms. More precisely, we obtain, for α∈(0,1/2), the exact rate of convergence, as h↓0, of

$$T_{\alpha ,\mathrm{f}}\left(\mathrm{h}\right):=\underset{0⩽\mathrm{t}⩽1-\mathrm{h}}{\inf }{\parallel {\left(2\mathrm{h}\log (1/\mathrm{h})\right)}^{-1/2}(\mathrm{W}(\mathrm{t}+\mathrm{h}·)-\mathrm{W}\left(\mathrm{t}\right))-\mathrm{f}\parallel }_{\alpha }$$

when $\mathrm{f}\in 𝒮$ satisfies ${\int }_0^1{\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\right\}}^2\mathrm{d}\mathrm{u}<1$, where $𝒮$ denotes the Strassen (1964) set.

Détail

Reçu le : 2002-12-13
Accepté le : 2003-05-07
Publié le : 2003-06-14

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00237-1