Algèbre/Théorie des groupes

Sur l'homologie du groupe orthogonal à coefficients dans les algèbres de Clifford

Grebet, Jean-Guillaume¹

¹ Department of Mathematical Sciences, University of Durham, Durham, DH1 3LE, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 5, pp. 381-386.

Résumé (VO)

Le but de cette Note est de montrer que la méthode utilisée par Dupont et Sah pour calculer les groupes d'homologie ${\mathrm{H}}_1(\mathrm{SO}(3;ℝ),\mathrm{𝔰𝔬}(3;ℝ))$ et ${\mathrm{H}}_2(\mathrm{SO}(3;ℝ),\mathrm{𝔰𝔬}(3;ℝ))$ peut être reformulée de manière plus générale en termes de formes différentielles non-commutatives sur les algèbres de Clifford. En appliquant alors ce formalisme à d'autres algèbres de Clifford, on est en mesure d'une part de retrouver les résultats de Cathelineau pour les groupes ${\mathrm{H}}_1({\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℂ\right))$ et ${\mathrm{H}}_2({\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℂ\right))$, et d'autre part de calculer les groupes ${\mathrm{H}}_1({\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℝ\right))$ et ${\mathrm{H}}_2({\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℝ\right))$, qui sont respectivement isomorphes à ${\Omega }_{ℝ|\mathbb{Q}}^1$ et au groupe nul.

Abstract

The object of this Note is to show that the method used by Dupont and Sah to compute the homology groups ${\mathrm{H}}_1(\mathrm{SO}(3;ℝ),\mathrm{𝔰𝔬}(3;ℝ))$ and ${\mathrm{H}}_2(\mathrm{SO}(3;ℝ),\mathrm{𝔰𝔬}(3;ℝ))$ can be reformulated more generally in terms of non-commutative differential forms over Clifford algebras. Applying then this formalism to other Clifford algebras, we are able on the one hand to retrieve the results of Cathelineau for the groups ${\mathrm{H}}_1({\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℂ\right))$ and ${\mathrm{H}}_2({\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℂ\right))$, and on the other hand to compute ${\mathrm{H}}_1({\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℝ\right))$ and ${\mathrm{H}}_2({\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℝ\right))$, which are isomorphic to ${\Omega }_{ℝ|\mathbb{Q}}^1$ and to the null group respectively.

Détail

Reçu le : 2002-09-23
Accepté le : 2003-01-30
Publié le : 2003-03-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00069-4

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