Partial Differential Equations

Asymptotics for the blow-up boundary solution of the logistic equation with absorption

[Comportement asymptotique de la solution explosant au bord de l'équation logistique avec absorption]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Cîrstea, Florica-Corina¹ ; Rădulescu, Vicenţiu²

¹ School of Computer Science and Mathematics, Victoria University of Technology, PO Box 14428, Melbourne City MC, Victoria 8001, Australia
² Department of Mathematics, University of Craiova, 1100 Craiova, Romania

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 3, pp. 231-236

Abstract (VO)

Let $\Omega$ be a smooth bounded domain in ${\mathrm{R}}^N$. Assume that f⩾0 is a C¹-function on [0,∞) such that f(u)/u is increasing on (0,+∞). Let a be a real number and let b⩾0, b≢0 be a continuous function such that b≡0 on $\partial \Omega$. The purpose of this Note is to establish the asymptotic behaviour of the unique positive solution of the logistic problem Δu+au=b(x)f(u) in $\Omega$, subject to the singular boundary condition u(x)→+∞ as $\mathrm{dist}(\mathrm{x},\partial \Omega )\to 0$. Our analysis is based on the Karamata regular variation theory.

Résumé

Soit $\Omega$ un domaine borné et régulier de ${\mathrm{R}}^N$. On suppose que f∈C¹[0,∞) est ⩾0 et telle que f(u)/u soit strictement croissante sur (0,+∞). Soit a un réel et b⩾0, b≢0, une fonction continue sur $\overline{\Omega }$ telle que b≡0 sur $\partial \Omega$. Dans cette Note on établit le comportement asymptotique de l'unique solution positive du problème logistique Δu+au=b(x)f(u) sur $\Omega$ avec la donnée au bord singulière u(x)→+∞ si $\mathrm{dist}(\mathrm{x},\partial \Omega )\to 0$. Notre analyse porte sur la théorie de la variation régulière de Karamata.

Détail

Reçu le : 2002-12-02
Accepté le : 2002-12-09
Publié le : 2003-02-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00027-X