Numerical Analysis/Calculus of Variations

A penalty/Newton/conjugate gradient method for the solution of obstacle problems

[Sur une méthode de pénalité/Newton et gradient conjugué pour la résolution de problèmes d'obstacles]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Glowinski, Roland¹ ; Kuznetsov, Yuri A.¹ ; Pan, Tsorng-Whay¹

¹ University of Houston, Department of Mathematics, Houston, TX 77204-3476, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 5, pp. 435-440

Abstract (VO)

Motivated by the search for non-negative solutions of a system of Eikonal equations with Dirichlet boundary conditions, we discuss in this Note a method for the numerical solution of parabolic variational inequality problems for convex sets such as $\mathrm{K}=\{\mathrm{v}\mid \mathrm{v}\in {\mathrm{H}}_0^1\left(\Omega \right)$, v⩾ψ a.e. on $\Omega \}.$ The numerical methodology combines penalty and Newton's method, the linearized problems being solved by a conjugate gradient algorithm requiring at each iteration the solution of a linear problem for a discrete analogue of the elliptic operator I−μΔ. Numerical experiments show that the resulting method has good convergence properties, even for small values of the penalty parameter.

Résumé

Motivé par la recherche des solutions non négatives d'un système d'équations eiconales, avec conditions aux limites de Dirichlet, on étudie dans cette Note une méthode pour la résolution numérique de problèmes d'inéquations variationnelles paraboliques pour des ensembles convexes du type $\mathrm{K}=\{\mathrm{v}\mid \mathrm{v}\in {\mathrm{H}}_0^1\left(\Omega \right)$, v⩾ψ p.p. sur $\Omega \}$. La méthode numérique combine pénalité et algorithme de Newton, les problèmes linéarisés étant résolus par un algorithme de gradient conjugué qui demande à chaque iteration la résolution d'un problème linéaire pour un analogue discret de l'opérateur elliptique I−μΔ avec μ>0. Les essais numériques montrent que la méthode ainsi obtenue a de bonnes propriétés de convergence, même pour des petites valeurs du paramètre de pénalité.

Détail

Reçu le : 2002-11-18
Accepté le : 2002-11-19
Publié le : 2003-03-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00025-6