Injectivity of the spherical means operator

[Injectivité de l'operateur de moyen spherique]

Ramm, Alexander G.^1, 2

¹ LMA-CNRS, 31, Chemin J. Aiguier, 13402 Marseille, France
² Mathematics Department, Kansas State University, Manhattan, KS 66506-2602, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 12, pp. 1033-1038

Abstract (VO)

Let S be a surface in ${ℝ}^n$ which divides the space into two connected components D₁ and D₂. Let $\mathrm{f}\in {\mathrm{C}}_0\left({ℝ}^n\right)$ be some real-valued compactly supported function with suppf⊂D₁. Consider

$$Mf:=m(y,r):={\int }_{{ℝ}^n}f\left(z\right)\delta \left(\right|y-z|-r)\mathrm{d}z,$$

where δ is the delta-function, y∈S and r>0 are arbitrary. A general, local at infinity, condition on S is given, under which M is injective, that is, Mf=0 implies f=0. The injectivity result is extended to the case when the Fourier transform of f is quasianalytic, so that compactness of support of f is not assumed. A sufficient condition on S is given, under which M⁻¹ can be analytically constructed. Two examples of inversion formulas are given: when S is a plane, and when S is a sphere. These formulas can be used in applications.

Résumé

Soit S une surface de ${ℝ}^n$ qui divise l'espace en deux composantes connectées D₁ and D₂. Soit $\mathrm{f}\in {\mathrm{C}}_0^{\infty }\left({ℝ}^n\right)$ une fonction à valeurs réeles, suppf⊂D₁. Considérons

$$Mf:=m(y,r):={\int }_{{ℝ}^n}f\left(z\right)\delta \left(\right|y-z|-r)\mathrm{d}z,$$

où δ est la delta-fonction, y∈S et r>0 sont quelconques. Une condition générale, locale à l'infini, est donnée sur S, sous laquelle M est injective, c.a.d., Mf=0⇒f=0. Le résultat d'injectivité est généralisé dans le cas où la transformée de Fourier de f est quasi-analytique, de façon à ne pas supposer que f est à support compact. Une condition suffisante sur S est donnée sous laquelle M⁻¹ peut être construit analytiquement. Deux exemples de formules d'inversion sont donnés : dans le cas où S est plan, et dans le cas où S est une sphère. Ces formules peuvent etre utilisés dans les applications.

Détail

Reçu le : 2002-10-04
Accepté le : 2002-10-04
Publié le : 2002-11-20

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02608-0