Sharp Sobolev type inequalities for higher fractional derivatives

[Inégalités optimales de type Sobolev pour les dérivées fractionelles d'ordre supérieur]

Cotsiolis, Athanase¹ ; Tavoularis, Nikolaos Con.¹

¹ Department of Mathematics, University of Patras, Patras 26110, Greece

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 10, pp. 801-804

Abstract (VO)

On ${ℝ}^n$, n⩾1 and n≠2, we prove the existence of a sharp constant for Sobolev inequalities with higher fractional derivatives. Let s be a positive real number. For n>2s and $\mathrm{q}=\frac{2\mathrm{n}}{\mathrm{n}-2\mathrm{s}}$ any function $\mathrm{f}\in {\mathrm{H}}^s\left({ℝ}^n\right)$ satisfies

$${\parallel f\parallel }_q^2⩽S_{n,s}{\parallel {(-\Delta )}^{s/2}f\parallel }_{2\text{'}}^2$$

where the operator (−Δ)^s in Fourier spaces is defined by $\widehat{{(-\Delta )}^s}f\left(k\right):={\left(2\pi \right|k\left|\right)}^{2s}\widehat{f}\left(k\right)$.

Résumé

Sur ${ℝ}^n$, n⩾1 et n≠2, on établit l'existence de meilleurs constantes dans les inégalités de Sobolev pour les dérivées fractionelles d'ordre supérieur. Soit s un reel positif. Pour n>2s et $\mathrm{q}=\frac{2\mathrm{n}}{\mathrm{n}-2\mathrm{s}}$ toute fonction $\mathrm{f}\in {\mathrm{H}}^s\left({ℝ}^n\right)$ vérifie l'inégalité suivante

$${\parallel \mathrm{f}\parallel }_q^2⩽{\mathrm{S}}_{\mathrm{n},\mathrm{s}}{\parallel {(-\Delta )}^{\mathrm{s}/2}\mathrm{f}\parallel }_2^2,$$

où S_n,s est la meilleure constante. L'opérateur (−Δ)^s est defini dans les espaces de Fourier par $\widehat{{(-\Delta )}^s}f\left(k\right):={\left(2\pi \right|k\left|\right)}^{2s}\widehat{f}\left(k\right)$.

Détail

Accepté le : 2002-10-01
Publié le : 2002-10-20

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02576-1