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From a previous work and an application of predictive polynomials we obtain two types of results. In a first part exact entries of the Toeplitz matrix are computed in the case where the symbol is |P|2f and where f is a non negative regular function and P a polynomial with all its zeros on . In a second part we give an asymptotic expansion for symbols (1−cosθ)pf when f is always a nonnegative regular function. These formulas use Green kernels associated to differential operators of order 2p. Finally, we propose some applications to the computation of traces and determinants.
À partir de travaux antérieurs et d'une application des polynômes prédicteurs nous obtenons deux types de résultats. Dans une première partie nous proposons une méthode pour obtenir un développement exact des coefficients de matrices de Toeplitz ayant un symbole du type |P|2f où f est une fonction régulière positive et P un polynôme ayant ses zéros sur le tore. Dans une deuxième partie nous obtenons des formules asymptotiques pour les coefficients de l'inverse des matrices de Toeplitz dont le symbole est le produit de (1−cosθ)p par une fonction strictement positive. Ces développements utilisent des noyaux de Green associés à des opérateurs différentiels d'ordre 2p. Enfin nous proposons quelques applications aux calculs des traces et des déterminants.
Rambour, Philippe 1 ; Seghier, Abdellatif 1
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Rambour, Philippe; Seghier, Abdellatif. Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 8, pp. 705-710. doi: 10.1016/S1631-073X(02)02549-9
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