Gibbs states of a quantum crystal: uniqueness by small particle mass

[États de Gibbs de crystaux quantiques: unicité dans le cas d'une petite masse]

Albeverio, Sergio^1, 2, 3 ; Kondratiev, Yuri^4, 2, 5 ; Kozitsky, Yuri⁶ ; Röckner, Michael^4, 2

¹ Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn, 53115 Bonn, Germany
² Forschungszentrum BiBoS, Universität Bielefeld, 33615 Bielefeld, Germany
³ CERFIM, Locarno and USI, Switzerland
⁴ Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, 33615 Bielefeld, Germany
⁵ Institute of Mathematics, Kiev, Ukraine
⁶ Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej, 20-031 Lublin, Poland

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 8, pp. 693-698

Abstract (VO)

A model of interacting quantum particles performing one-dimensional anharmonic oscillations around their unstable equilibrium positions, which form the lattice ${\mathbb{Z}}^d$, is considered. For this model, two statements describing its equilibrium properties are given. The first theorem states that there exists $m_{*}>0$ such that for all values of the particle mass $\mathrm{m}<{\mathrm{m}}_{*}$, the set of tempered Euclidean Gibbs measures consists of exactly one element at all values of the temperature β⁻¹. This settles a problem that was open for a long time and is an essential improvement of a similar result proved before by the same authors [1] where the boundary $m_{*}$ depended on β in such a way that $m_{*}\left(\beta \right)\to 0$ for β→+∞. The second theorem states that the two-point correlation function has an exponential decay if $\mathrm{m}<{\mathrm{m}}_{*}$.

Résumé

On considère un modèle de particules quantiques en intéraction effectuant des oscillations anharmoniques uni-dimensionelles autour de leur positions d'équilibre sur le réseau ${\mathbb{Z}}^d$. Pour ce modèle, nous énonçons deux résultats décrivant ses propriétés d'équilibre. Le premier théorème affirme l'existence de $m_{*}>0$ tel que pour toutes les valeurs de la masse m de la particule inférieures à $m_{*}$, l'ensemble des mesures euclidiennes tempérées de Gibbs consiste en un seul élément, à toute température β⁻¹. Cela résoud un problème qui est resté ouvert pour longtemps et améliore essentiellement un résultat analogue obtenu par les mêmes auteurs, lorsque $m_{*}$ dépendait de β de sorte que $m_{*}\left(\beta \right)\to 0$ si β→+∞. Le deuxième théorème dit que la fonction de corrélation a une décroissance exponentielle si $\mathrm{m}<{\mathrm{m}}_{*}$.

Détail

Reçu le : 2002-08-01
Accepté le : 2002-09-03
Publié le : 2002-10-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02545-1