Une caractérisation des fonctions holomorphes injectives en analyse ultramétrique

Rivera-Letelier, Juan^1, 2

¹ Departamento de Matemática, Universidad Católica del Norte, Casilla 1280, Antofagasta, Chile
² Institute for Mathematical Sciences, SUNY, Stony Brook, NY 11794-3651, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 5, pp. 441-446

Résumé (VO)

On montre qu'une fonction holomorphe non-constante f définie sur un sous-espace analytique de ${ℂ}_p$ est injective si et seulement si on a

$${\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\right|}^2=\left|f\text{'}\left(x\right)·f\text{'}\left(y\right)\right|\text{,}\text{pour}\text{tout}x\text{et}y\text{distincts.}$$

Cette caractérisation démontre l'analogue, pour les fonctions holomorphes, d'une conjecture de A. Escassut et M.C. Sarmant. D'autre part on donne un contre-exemple à cette conjecture, qui concerne les éléments bi-analytiques.

Abstract

We prove that a non constant holomorphic function f defined over an analytic subspace of ${ℂ}_p$ is injective if and only if

$${\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\right|}^2=\left|f\text{'}\left(x\right)·f\text{'}\left(y\right)\right|\text{,}\text{for}\text{every}\text{distinct}x\text{and}y\text{.}$$

This characterization proves the analogue, for holomorphic functions, of a conjecture of A. Escassut and M.C. Sarmant. On the other hand we give a counter-example to this conjecture, that concerns bi-analytic elements.

Détail

Reçu le : 2002-07-05
Accepté le : 2002-07-09
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02501-3