Rational homotopy groups and Koszul algebras

[Groupes d'homotopie rationnels et algèbres de Koszul]

Papadima, Stefan¹ ; Suciu, Alexander I.²

¹ Institute of Mathematics of the Romanian Academy, PO Box 1-764, RO-70700 Bucharest, Romania
² Department of Mathematics, Northeastern University, Boston, MA 02115, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 1, pp. 53-58

Abstract (VO)

Let X and Y be finite-type CW-spaces (X connected, Y simply connected), such that the ring $H^{*}(\mathrm{Y},\mathbb{Q})$ is a k-rescaling of $H^{*}(\mathrm{X},\mathbb{Q})$. If $H^{*}(\mathrm{X},\mathbb{Q})$ is a Koszul algebra, then the graded Lie algebra ${\pi }_{*}\left(\Omega \mathrm{Y}\right)\otimes \mathbb{Q}$ is the k-rescaling of ${\mathrm{gr}}_{*}\left({\pi }_1\mathrm{X}\right)\otimes \mathbb{Q}$. If Y is a formal space, then the converse holds, and Y is coformal. Furthermore, if X is formal, with Koszul cohomology algebra, there exist filtered group isomorphisms between the Malcev completion of π₁X, the completion of $[\Omega {\mathrm{S}}^{2\mathrm{k}+1},\Omega \mathrm{Y}]$, and the Milnor–Moore group of coalgebra maps from $H_{*}(\Omega {\mathrm{S}}^{2\mathrm{k}+1},\mathbb{Q})$ to $H_{*}(\Omega \mathrm{Y},\mathbb{Q})$.

Résumé

Soient X et Y deux CW-espaces de type fini (X connexe, Y simplement connexe), tels que l'anneau de cohomologie $H^{*}(\mathrm{Y},\mathbb{Q})$ soit un k-recalibrage de $H^{*}(\mathrm{X},\mathbb{Q})$. Si $H^{*}(\mathrm{X},\mathbb{Q})$ est une algèbre de Koszul, alors l'algèbre de Lie graduée ${\pi }_{*}\left(\Omega \mathrm{Y}\right)\otimes \mathbb{Q}$ est le k-recalibrage de ${\mathrm{gr}}_{*}\left({\pi }_1\mathrm{X}\right)\otimes \mathbb{Q}$. Si Y est un espace formel, alors l'implication réciproque est vraie aussi, et l'espace Y est coformel. De plus, si X est formel, avec algèbre de cohomologie de Koszul, on trouve des isomorphismes de groupes filtrés entre le complété de Malcev de π₁X, le complété de $[\Omega {\mathrm{S}}^{2\mathrm{k}+1},\Omega \mathrm{Y}]$, et le groupe de Milnor–Moore d'applications de cogèbres entre $H_{*}(\Omega {\mathrm{S}}^{2\mathrm{k}+1},\mathbb{Q})$ et $H_{*}(\Omega \mathrm{Y},\mathbb{Q})$.

Détail

Reçu le : 2002-01-28
Accepté le : 2002-04-29
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02420-2