Existence and uniqueness results for nonlinear elliptic problems with a lower order term and measure datum

[Existence et unicité de solutions renormalisées d'équations elliptiques non linéaires avec des termes d'ordre inférieur et données mesures]

Betta, M.Francesca¹ ; Mercaldo, Anna² ; Murat, François³ ; Porzio, M.Michaela⁴

¹ Dipartimento di Matematica, Seconda Università di Napoli, via Vivaldi 43, 81100 Caserta, Italy
² Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”, Università degli Studi di Napoli “Federico II”, via Cintia, 80126 Napoli, Italy
³ Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris VI, boı̂te courrier 187, 75252 Paris cedex 05, France
⁴ Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali, Università degli Studi del Sannio, via Port'Arsa 11, 82100 Benevento, Italy

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 9, pp. 757-762

Abstract (VO)

In this Note we consider a class of noncoercive nonlinear problems whose prototype is

$$-{△}_p\mathrm{u}+\mathrm{b}\left(\mathrm{x}\right){\left|\nabla \mathrm{u}\right|}^{\lambda }=\mu \mathrm{in}\Omega ,\mathrm{u}=0\mathrm{on}\partial \Omega ,$$

where $\Omega$ is a bounded open subset of ${ℝ}^N$ (N⩾2), △_p is the so called p-Laplace operator (1<p<N) or a variant of it, μ is a Radon measure with bounded variation on $\Omega$ or a function in ${\mathrm{L}}^1\left(\Omega \right)$, λ⩾0 and b belongs to the Lorentz space ${\mathrm{L}}^{\mathrm{N},1}\left(\Omega \right)$ or to the Lebesgue space ${\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)$. We prove existence and uniqueness of renormalized solutions.

Résumé

Dans cette Note nous considérons une classe de problèmes non linéaires et non coercifs dont le prototype est

$$-{△}_p\mathrm{u}+\mathrm{b}\left(\mathrm{x}\right){\left|\nabla \mathrm{u}\right|}^{\lambda }=\mu \mathrm{dans}\Omega ,\mathrm{u}=0\mathrm{sur}\partial \Omega ,$$

où $\Omega$ est un ouvert borné de ${ℝ}^N$ (N⩾2), △_p est le p-Laplacien (1<p<N) ou une variante de cet opérateur, μ est une mesure de Radon bornée ou une function de ${\mathrm{L}}^1\left(\Omega \right)$, λ⩾0 et b appartient à l'espace de Lorentz ${\mathrm{L}}^{\mathrm{N},1}\left(\Omega \right)$ ou à l'espace de Lebesgue ${\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)$. Nous démontrons l'existence et l'unicité de solutions renormalisées de ce problème.

Détail

Reçu le : 2001-11-27
Révisé le : 2002-02-28
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02338-5