Ordinary Differential Equations

On the normal form of a system of differential equations with nilpotent linear part

[Forme normale d'un système d'équations différentielles à partie linéaire nilpotente]

Présenté par : Bernard Malgrange

Canalis-Durand, Mireille¹ ; Schäfke, Reinhard²

¹ GREQAM, Université d'Aix-Marseille III, 13002 Marseille, France
² IRMA, Université Louis Pasteur, 67084 Strasbourg cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 2, pp. 129-134

Abstract (VO)

We consider prenormal forms associated to generic perturbations of the system $\dot{x}=2\mathrm{y},\dot{y}=3{\mathrm{x}}^2$. It is known that they have a formal normal form $\dot{x}=2\mathrm{y}+2\mathrm{x}{\Delta }^{*},\dot{y}=3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{y}{\Delta }^{*}$, where ${\Delta }^{*}=\mathrm{x}+{\mathrm{A}}_0({\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^3)$ [Differential Equations 158 (1) (1999) 152–173]. We show that the series A₀ and the normalizing transformations are divergent, but 1-summable.

Résumé

On considère des formes prénormales associées à des perturbations génériques du système $\dot{x}=2\mathrm{y},\dot{y}=3{\mathrm{x}}^2$. Il est connu qu'elles admettent une forme normale formelle $\dot{x}=2\mathrm{y}+2\mathrm{x}{\Delta }^{*},\dot{y}=3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{y}{\Delta }^{*}$, où ${\Delta }^{*}=\mathrm{x}+{\mathrm{A}}_0({\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^3)$ [Differential Equations 158 (1) (1999) 152–173]. Nous démontrons que A₀ et les transformations normalisantes sont divergentes, mais 1-sommable.

Détail

Reçu le : 2002-11-23
Accepté le : 2002-11-27
Publié le : 2003-01-15

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)00022-5