Geodesic
Espace de Dixmier des opérateurs de Hankel sur les espaces de Bergman à poids
Czechoslovak Mathematical Journal, Tome 65 (2015) no. 2, pp. 399-426 Cet article a éte moissonné depuis la source Czech Digital Mathematics Library

Voir la notice de l'article

Nous donnons des résultats théoriques sur l'idéal de Macaev et la trace de Dixmier. Ensuite, nous caractérisons les symboles antiholomorphes $\bar {f}$ tels que l'opérateur de Hankel $\smash {H_{\bar f}}$ sur l'espace de Bergman à poids soit dans l'idéal de Macaev et nous donnons la trace de Dixmier. Pour cela, nous regardons le comportement des normes de Schatten $\Cal {S}^{p}$ quand $p$ tend vers $1$ et nous nous appuyons sur le résultat de Engliš et Rochberg sur l'espace de Bergman. Nous parlons aussi des puissances de tels opérateurs. \endgraf \ehyph {\it Abstract}. In this paper, we give theoretical results on Macaev ideal and Dixmier trace. Then we give a characterization of antiholomorphic symbols $\bar {f}$ such that the Hankel operator $\smash {H_{\bar f}}$ on a Bergman weighted space is in an ideal of Macaev and we give the Dixmier trace. For this, we look at the behavior of Schatten's norms $\mathcal {S}^{p}$ when $p$ tends to $1$, using results of Engliš and Rochberg on Bergman space. We also give results on powers of such operators.
Nous donnons des résultats théoriques sur l'idéal de Macaev et la trace de Dixmier. Ensuite, nous caractérisons les symboles antiholomorphes $\bar {f}$ tels que l'opérateur de Hankel $\smash {H_{\bar f}}$ sur l'espace de Bergman à poids soit dans l'idéal de Macaev et nous donnons la trace de Dixmier. Pour cela, nous regardons le comportement des normes de Schatten $\Cal {S}^{p}$ quand $p$ tend vers $1$ et nous nous appuyons sur le résultat de Engliš et Rochberg sur l'espace de Bergman. Nous parlons aussi des puissances de tels opérateurs. \endgraf \ehyph {\it Abstract}. In this paper, we give theoretical results on Macaev ideal and Dixmier trace. Then we give a characterization of antiholomorphic symbols $\bar {f}$ such that the Hankel operator $\smash {H_{\bar f}}$ on a Bergman weighted space is in an ideal of Macaev and we give the Dixmier trace. For this, we look at the behavior of Schatten's norms $\mathcal {S}^{p}$ when $p$ tends to $1$, using results of Engliš and Rochberg on Bergman space. We also give results on powers of such operators.
DOI : 10.1007/s10587-015-0185-2
Classification : 32A36, 32A37, 47B10, 47B35
Keywords: Hankel operator; Dixmier trace; Bergman space 
@article{10_1007_s10587_015_0185_2,
     author = {Tytgat, Romaric},
     title = {Espace de {Dixmier} des op\'erateurs de {Hankel} sur les espaces de {Bergman} \`a poids},
     journal = {Czechoslovak Mathematical Journal},
     pages = {399--426},
     year = {2015},
     volume = {65},
     number = {2},
     doi = {10.1007/s10587-015-0185-2},
     mrnumber = {3360436},
     zbl = {06486956},
     language = {en},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1007/s10587-015-0185-2/}
}
TY  - JOUR
AU  - Tytgat, Romaric
TI  - Espace de Dixmier des opérateurs de Hankel sur les espaces de Bergman à poids
JO  - Czechoslovak Mathematical Journal
PY  - 2015
SP  - 399
EP  - 426
VL  - 65
IS  - 2
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1007/s10587-015-0185-2/
DO  - 10.1007/s10587-015-0185-2
LA  - en
ID  - 10_1007_s10587_015_0185_2
ER  - 
%0 Journal Article
%A Tytgat, Romaric
%T Espace de Dixmier des opérateurs de Hankel sur les espaces de Bergman à poids
%J Czechoslovak Mathematical Journal
%D 2015
%P 399-426
%V 65
%N 2
%U http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1007/s10587-015-0185-2/
%R 10.1007/s10587-015-0185-2
%G en
%F 10_1007_s10587_015_0185_2
Tytgat, Romaric. Espace de Dixmier des opérateurs de Hankel sur les espaces de Bergman à poids. Czechoslovak Mathematical Journal, Tome 65 (2015) no. 2, pp. 399-426. doi: 10.1007/s10587-015-0185-2

[1] Arazy, J., Fisher, S. D., Peetre, J.: Hankel operators on weighted Bergman spaces. Am. J. Math. 110 (1988), 989-1053. | DOI | MR | Zbl

[2] Arazy, J., Fisher, S. D., Peetre, J.: Möbius invariant function spaces. J. Reine Angew. Math. 363 (1985), 110-145. | MR | Zbl

[3] Axler, S.: The Bergman space, the Bloch space, and commutators of multiplication operators. Duke Math. J. 53 (1986), 315-332. | MR | Zbl

[4] Connes, A.: Noncommutative Geometry. Academic Press San Diego (1994). | MR | Zbl

[5] Connes, A., Moscovici, H.: The local index formula in noncommutative geometry. Geom. Funct. Anal. 5 (1995), 174-243. | DOI | MR | Zbl

[6] Engliš, M., Guo, K., Zhang, G.: Toeplitz and Hankel operators and Dixmier traces on the unit ball of $\mathbb C^{n}$. Proc. Am. Math. Soc. 137 (2009), 3669-3678. | DOI | MR

[7] Engliš, M., Rochberg, R.: The Dixmier trace of Hankel operators on the Bergman space. J. Funct. Anal. 257 (2009), 1445-1479. | DOI | MR | Zbl

[8] Gohberg, I. C., Kreĭn, M. G.: Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators. Translations of Mathematical Monographs 18 American Mathematical Society, Providence (1969). | DOI | MR | Zbl

[9] Li, S.-Y., Russo, B.: Hankel operators in the Dixmier class. C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I, Math. 325 (1997), 21-26. | DOI | MR | Zbl

[10] Luecking, D. H.: Characterizations of certain classes of Hankel operators on the Bergman spaces of the unit disk. J. Funct. Anal. 110 (1992), 247-271. | DOI | MR | Zbl

[11] Meise, R., Vogt, D.: Introduction to Functional Analysis. Oxford Graduate Texts in Mathematics 2 Clarendon Press, Oxford (1997). | MR | Zbl

[12] Pavlović, M.: Introduction to Function Spaces on the Disk. Posebna Izdanja Matematički Institut SANU, Belgrade (2004). | MR | Zbl

[13] Peller, V.: Hankel Operators and Their Applications. Springer Monographs in Mathematics Springer, New York (2003). | MR | Zbl

[14] Rudin, W.: Real an Complex Analysis. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics McGraw-Hill Book Company, New York (1966). | MR

[15] Seip, K., Youssfi, E. H.: Hankel operators on Fock spaces and related Bergman kernel estimates. J. Geom. Anal. 23 (2013), 170-201. | DOI | MR | Zbl

[16] Simon, B.: Trace Ideals and Their Applications. London Mathematical Society Lecture Note Series 35 Cambridge University Press, Cambridge (1979). | MR | Zbl

[17] Tytgat, R.: Dixmier class of Hankel operators. J. Oper. Theory 72 (2014), 241-256 French. | DOI | MR

[18] Zhu, K.: Schatten class Toeplitz operators on weighted Bergman spaces of the unit ball. New York J. Math. (electronic only) 13 (2007), 299-316. | MR | Zbl

[19] Zhu, K.: Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball. Graduate Texts in Mathematics 226 Springer, New York (2005). | MR | Zbl

[20] Zhu, K.: Analytic Besov spaces. J. Math. Anal. Appl. 157 (1991), 318-336. | DOI | MR | Zbl

[21] Zhu, K.: Operator Theory in Function Spaces. Pure and Applied Mathematics 139 Marcel Dekker, New York (1990). | MR | Zbl

Cité par Sources :