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M. Hochster a conjecturé que pour toute extension finie d’un anneau commutatif régulier , la suite exacte de -modules est scindée. En nous appuyant sur sa réduction au cas d’un anneau local régulier complet non ramifié d’inégale caractéristique, nous proposons une démonstration de cette conjecture dans le contexte de la théorie perfectoïde de P. Scholze. Les deux ingrédients-clé sont le « lemme d’Abhyankar perfectoïde » et l’analyse des extensions kummériennes de par une technique d’épaississement sur des voisinages tubulaires.
Nous montrons par les mêmes techniques l’existence d’algèbres de Cohen-Macaulay pour les anneaux locaux d’inégale caractéristique. Il s’ensuit que les revêtements finis d’anneaux réguliers sont dominés par des plats.
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André, Yves. La conjecture du facteur direct. Publications Mathématiques de l'IHÉS, Tome 127 (2018), pp. 71-93. doi: 10.1007/s10240-017-0097-9
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