Goldbach’s problem with primes in arithmetic progressions and in short intervals

Halupczok, Karin¹

¹ Universität Münster Mathematisches Institut Einsteinstr. 62 D-48149 Münster, Germany

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 2, pp. 331-351

Abstract (VO)

Some mean value theorems in the style of Bombieri-Vinogradov’s theorem are discussed. They concern binary and ternary additive problems with primes in arithmetic progressions and short intervals. Nontrivial estimates for some of these mean values are given. As application inter alia, we show that for large odd $n\neg \equiv 1\left(6\right)$, Goldbach’s ternary problem $n=p_1+p_2+p_3$ is solvable with primes $p_1,p_2$ in short intervals $p_i\in [X_i,X_i+Y]$ with $X_i^{{\theta }_i}=Y$, $i=1,2$, and ${\theta }_1,{\theta }_2\ge 0.933$ such that $(p_1+2)(p_2+2)$ has at most $9$ prime factors.

Résumé

Nous discutons quelques théorèmes sur des valeurs moyennes dans le style du théorème de Bombieri-Vinogradov. Ils concernent des problèmes additifs binaires et ternaires avec des nombres premiers dans des progressions arithmétiques et des intervals courts. Nous donnons des estimations non-triviales pour certaines de ces valeurs moyennes. Comme application entre autres, nous démontrons que pour $n\neg \equiv 1\left(6\right)$ grand et impair, le problème $n=p_1+p_2+p_3$ de Goldbach a une solution avec des nombres premiers $p_1,p_2$ dans des intervals courts : $p_i\in [X_i,X_i+Y]$, où $X_i^{{\theta }_i}=Y$ et ${\theta }_i\ge 0.933$ pour $i=1,2$, et tel que en plus, $(p_1+2)(p_2+2)$ a au plus $9$ facteurs premiers.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.839

Keywords: additive problems, circle method, sieve methods, short intervals.