Un critère de récurrence pour certains espaces homogènes

Bruère, Caroline¹

¹ Lycée Colbert, 7 impasse Colbert, 57100 Thionville

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 1, pp. 91-121

Résumé (VO)

Soit G un groupe de Lie algébrique connexe semi-simple réel, H un sous-groupe algébrique de G, μ une mesure de probabilité sur G à moment exponentiel fini dont le support engendre un sous-semi-groupe Zariski-dense de G. Soit X=G/H le quotient de G par H. On étudie la chaîne de Markov sur X de probabilité de transition Px=μ*δx pour x∈X. On montre que soit pour tout x∈X, presque toute trajectoire partant de x est transiente, soit pour tout x∈X, presque toute trajectoire partant de x est récurrente. Cette récurrence est en fait uniforme, c’est-à-dire que pour tout point x∈X, presque toute trajectoire partant de x revient infiniment souvent dans un compact C⊂X ne dépendant pas de x. De plus, on donne un critère de récurrence en fonction de G, H, et μ.

Abstract

Let G be a real connected algebraic semi-simple Lie group, and H an algebraic subgroup of G. Let μ be a probability measure on G, with finite exponential moment, whose support spans a Zariski-dense subsemigroup of G. Let X=G/H be the quotient of G by H. We study the Markov chain on X with transition probability Px=μ*δx for x∈X. We prove that either for every x∈X, almost every trajectory starting from x is transient or for every x∈X, almost every trajectory starting from x is recurrent. In fact, this recurrence is uniform over all X, i.e. there exists a compact set C⊂X such that for each point x∈X, every trajectory starting in x almost surely returns to C infinitely often. Furthermore, we give a criterion for recurrence depending on G, H, and μ.

Détail

Reçu le : 2016-05-24
Révisé le : 2017-06-19
Accepté le : 2017-08-28
Publié le : 2019-03-04
DOI : 10.24033/bsmf.2776

Classification : 37B20, 37A30, 22E46, 22D40
Mots-clés : récurrence, groupe de Lie semi-simple réel, transience, chaine de Markov espace homogène
Keywords: recurrence, transience, real semi-simple Lie groupe, Markov chain, homogeneous space