Fine and quasi connectedness in nonlinear potential theory

Adams, David R. ; Lewis, John L. 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 1, pp. 57-73

Abstract (VO)

If $B_{\alpha ,p}$ denotes the Bessel capacity of subsets of Euclidean $n$-space, $\alpha >0$, $1<p<\infty$, naturally associated with the space of Bessel potentials of $L^p$-functions, then our principal result is the estimate: for $1<\alpha p\le n$, there is a constant $C=C(\alpha ,p,n)$ such that for any set $E$

$$min\{B_{\alpha ,p}(E\cap Q),B_{\alpha ,p}(E^c\cap Q\left)\right\}\le C·B_{\alpha ,p}(Q\cap {\partial }_{f}E)$$

for all open cubes $Q$ in $n$-space. Here ${\partial }_{f}E$ is the boundary of the $E$ in the $(\alpha ,p)$-fine topology i.e. the smallest topology on $c$-space that makes the associated $(\alpha ,p)$-linear potentials continuous there. As a consequence, we deduce that for $\alpha p>1$, open connected sets are connected in the $(\alpha ,p)$-quasi topology (i.e. the topology generated by the set function $B_{\alpha ,p}$ in the sense of Fuglede), and the $(\alpha ,p)$-finely open $(\alpha ,p)$-finely connected sets are arcwise connected. Our methods rely on the Kellog-Choquet properties of the capacities $B_{\alpha ,p}$ and aspects of geometric measure theory. The classical Newtonian case corresponds to the case $\alpha =1$, $p=2$ and $n=3$.

Résumé

Si $B_{\alpha ,p}$ désigne la capacité de Bessel des sous-ensembles de l’espace euclicien de dimension $n$, $\alpha >0$, $1<p<\infty$, associé naturellement avec l’espace des potentiels de Bessel des fonctions $L^p$-functions, alors notre résultat principal est l’estimation suivante : pour $1<\alpha p\le n$, il existe une constante $C=C(\alpha ,p,n)$ de telle sorte que pour n’importe quel ensemble $E$,

$$min\{B_{\alpha ,p}(E\cap Q),B_{\alpha ,p}(E^c\cap Q\left)\right\}\le C·B_{\alpha ,p}(Q\cap {\partial }_{f}E)$$

pour tous les cubes ouverts $Q$ dans l’espace de dimension $n$. Ici, ${\partial }_{f}E$ est le bord de l’ensemble $E$ dans la topologie —fine $(\alpha ,p)$— c’est-à-dire la topologie minimale sur l’espace de dimension $n$ qui rend continu les potentiels $(\alpha ,p)$-non-linéaires associés. Par conséquent, nous déduisons que pour $\alpha p>1$, les ensembles ouverts et connexes sont connexes dans la $(\alpha ,p)$-quasi-topologie (c’est-à-dire la topologie engendrée par la fonction de l’ensemble $B_{\alpha ,p}$ au sens de Fuglede) et que les ensembles $(\alpha ,p)$-finement ouverts $(\alpha ,p)$-finement connexes sont connexes par arcs. Nos méthodes sont basées sur les propriétés de Kellog-Choquet des capacités $B_{\alpha ,p}$ et certains aspects de la théorie de la mesure géométrique. Le cas newtonien classique correspond au cas $\alpha =1$, $p=2$ et $n=3$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.998