Unfoldings of foliations with multiform first integrals

Suwa, Tatsuo 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 3, pp. 99-112

Abstract (VO)

Let $F=\left(\omega \right)$ be a codim 1 local foliation generated by a germ $\omega$ of the form $\omega =f_1...f_p{\sum }_{i=1}^p{\lambda }_i\frac{d{f}_i}{f_i}$ for some complex numbers ${\lambda }_i$ and germs $f_i$ of holomorphic functions at the origin in ${\mathbf{C}}^n$. We determine, under some conditions, the set of equivalence classes of first order unfoldings and construct explicitly a universal unfolding of $F$. Special cases of this include foliations with holomorphic or meromorphic first integrals. We also show that the unfolding theory for $F$ is equivalent to the unfolding theory for the multiform function $f=f_1^{{\lambda }_1}...f_p^{{\lambda }_p}$. Thus a universal unfolding of $f$ is also given explicity.

Résumé

Soit $F=\left(\omega \right)$ un feuilletage local de codim 1 engendré par un germe $\omega$ de la forme $\omega =f_1...f_p{\sum }_{i=1}^p{\lambda }_i\frac{d{f}_i}{f_i}$ pour des nombres complexes ${\lambda }_i$ et des germes $f_i$ de fonctions holomorphes à l’origine dans ${\mathbf{C}}^n$. Nous déterminons, sous certaines hypothèses, l’ensemble des classes d’équivalence des déploiements à l’ordre premier et construisons explicitement un des déploiements universels de $F$. En particulier, les feuilletages admettant des intégrales premières holomorphes ou méromorphes sont du type considéré ci-dessus. Nous montrons aussi que la théorie de déploiement pour $F$ est équivalente à celle pour la fonction multiforme $f=f_1^{{\lambda }_1}...f_p^{{\lambda }_p}$. Ainsi un déploiement universel de $f$ est aussi donné explicitement.

Détail

DOI : 10.5802/aif.932