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On considère le modèle de relaxation magnétique décrit par H.K. Moffatt comme un moyen d’obtenir des solutions stationnaires des équations d’Euler de topologie prescrite. Il s’agit d’un système d’équations aux dérivées partielles non-linéaires formellement obtenu comme limite des équations de la magnétohydrodynamique idéale incompressible dans un régime dominé par la friction. Il autorise la diffusion de champs magnétiques tout en conservant leur topologie au cours de l’évolution, ce qui n’est pas le cas de l’équation de la chaleur ordinaire. La forte non-linéarité de ce système laisse largement ouverte l’étude de solutions classiques, mais sa structure très particulière permet d’adapter le concept de solutions dissipatives introduit par P.-L. Lions pour les équations d’Euler. On s’inspire aussi d’idées récemment introduites pour l’équation de la chaleur par Ambrosio, Gigli, Savaré et collaborateurs.
Enfin, on établit une équation de type Madelung pour les champs magnétiques.
Brenier, Yann. Diffusion de champs de vecteur conservant leur topologie et relaxation magnétique. Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications (2012-2013), Talk no. 20, 10 p.. doi: 10.5802/slsedp.46
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